Τρεις μαθηματικοί παρουσίασαν μια απόδειξη που λύνει ένα μακροχρόνιο πρόβλημα στα μαθηματικά. Ακόμη και ο μαθηματικός—κάτοχος του βραβείου Άμπελ—που έθεσε για πρώτη φορά το πρόβλημα, δεν πίστευε ότι θα λυνόταν ποτέ.
Η λύση προσφέρει βαθύτερη κατανόηση των τυχαίων δομών υψηλών διαστάσεων, γεγονός που θα μπορούσε ενδεχομένως να επηρεάσει την επιστήμη των δεδομένων, τη μηχανική μάθηση και τη βελτιστοποίηση.
Η εικασία κυρτότητας του Ταλαγκράν
Το 1995, ο Μισέλ Ταλαγκράν (Michel Talagrand) διατύπωσε το διάσημο μαθηματικό του πρόβλημα, το οποίο διερευνά αν η κυρτότητα μπορεί να «δημιουργηθεί» σε έναν σταθερό, ενιαίο αριθμό βημάτων (χρησιμοποιώντας πράξεις που ονομάζονται αθροίσματα Μινκόφσκι) σε οποιοδήποτε αριθμό διαστάσεων.
Στα μαθηματικά, κυρτότητα σημαίνει ότι ένα σχήμα ή μια συνάρτηση καμπυλώνει προς τα έξω, διασφαλίζοντας ότι δεν υπάρχουν κενά ή εσωτερικά βαθουλώματα. Έτσι, κάθε γραμμή που σχεδιάζεται ανάμεσα σε δύο σημεία στην περίμετρο ή στο εσωτερικό του σχήματος πρέπει να βρίσκεται εξολοκλήρου μέσα στο σχήμα.
Για παράδειγμα, ένας κύκλος ή ένα τετράγωνο σε δύο διαστάσεις, ή μια σφαίρα και ένας κύβος σε τρεις διαστάσεις, θεωρούνται κυρτά σχήματα.
Η εικασία κυρτότητας του Ταλαγκράν απαιτεί αθροίσματα Μινκόφσκι (Minkowski sums), τα οποία είναι μαθηματικές πράξεις που συνδυάζουν δύο σύνολα σημείων ή γεωμετρικών σχημάτων, προσθέτοντας κάθε μεμονωμένο σημείο του πρώτου συνόλου σε κάθε σημείο του δεύτερου συνόλου.
Όλο αυτό γίνεται πιο περίπλοκο καθώς αυξάνεται ο αριθμός των διαστάσεων. Ορισμένοι αναφέρονται σε αυτό το πρόβλημα ως η «κατάρα της διαστατικότητας», η οποία προκαλεί την εκθετική έκρηξη τόσο της γεωμετρικής πολυπλοκότητας όσο και του χρόνου υπολογισμού των σχημάτων που προκύπτουν.
Ο ίδιος ο Ταλαγκράν δεν πίστευε ότι η εικασία της κυρτότητας μπορούσε να λυθεί και προσέφερε περίπου 1.718 ευρώ (2.000 δολάρια) σε όποιον κατάφερνε να παρουσιάσει την απόδειξη.
«Διατύπωσα αυτή την τολμηρή εικασία χωρίς να έχω κάποια πραγματική βάση, ξέρετε—ήταν απλώς μια τουφεκιά στο σκοτάδι. Όταν λες κάτι τέτοιο, νιώθεις ότι είναι αδύνατον να είναι αληθινό» δήλωσε στο Scientific American.
Ο ίδιος είχε δείξει αρχικά στην εργασία του το 1995 ότι δύο αθροίσματα Μινκόφσκι δεν αρκούν για να εγγυηθούν τη δημιουργία ενός μεγάλου κυρτού υποσυνόλου.
Το 2025, ένας άλλος μαθηματικός απέδειξε ότι αν αντικατασταθεί το άθροισμα Μινκόφσκι με κυρτές πράξεις, αυτή η ισχυρότερη εκδοχή του προβλήματος της κυρτότητας καταρρίπτεται. Ωστόσο, αυτό και πάλι δεν έλυνε τη γενικότερη εκδοχή του Talagrand.
Αναζητώντας την απόδειξη στις πιθανότητες
Η νέα απόδειξη εκπονήθηκε από τον Dongming Hua και τον Antoine Song από το Τεχνολογικό Ινστιτούτο της Καλιφόρνια (Caltech), καθώς και από τον Stefan Tudose από το Πανεπιστήμιο του Πρίνστον, ο οποίος εντάχθηκε στην ομάδα των συγγραφέων αφού ενημερώθηκε για το έργο τους.
Μαζί, οι μαθηματικοί επαναδιατύπωσαν τη γεωμετρική εικασία του Ταλαγκράν σε ένα πρόβλημα της θεωρίας πιθανοτήτων και των τυχαίων διανυσμάτων.
Στην εργασία τους, η οποία δημοσιεύτηκε στον διακομιστή προδημοσιεύσεων arXiv, απέδειξαν μια ισοδύναμη εικασία για τις πιθανότητες, δείχνοντας ότι οποιοδήποτε 1-υπογαουσιανό (1-subgaussian) τυχαίο διάνυσμα σε n διαστάσεις μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα τριών τυπικών γαουσιανών (Gaussian) τυχαίων διανυσμάτων.
Αυτό το αποτέλεσμα λύνει το πρόβλημα κυρτότητας του Ταλαγκράν, αποδεικνύοντας ότι για οποιοδήποτε αρκετά μεγάλο σύνολο στον χώρο Γκάους (Gaussian space), μπορεί να βρεθεί ένα κυρτό σύνολο σημαντικού μέτρου μέσα στο τριπλό άθροισμα του αρχικού συνόλου.
Η λύση επιβεβαιώνει επίσης ένα συνδυαστικό ανάλογο του προβλήματος, το οποίο είναι σημαντικό για τα διακριτά μαθηματικά.
Αρχικά, οι Song και Hua ανέφεραν ότι προσπάθησαν να καταλήξουν σε μια λύση με τη βοήθεια του ChatGPT.
Ωστόσο, αν και το μεγάλο γλωσσικό μοντέλο (LLM) βοήθησε στο να απαντηθούν ορισμένες από τις ερωτήσεις τους και τους έφερε πιο κοντά σε μια λύση, ο Tudose ήταν εκείνος που παρουσίασε την τελική απόδειξη. Τελικά, η ομάδα δεν χρησιμοποίησε το έργο που παρήχθη μέσω του ChatGPT.
Στην εργασία τους, οι ερευνητές σημειώνουν ότι η απόδειξη του Tudose ήταν «πιο γενική και εννοιολογική».
Η λύση σε αυτό το μαθηματικό μυστήριο δεκαετιών γεφυρώνει τη γεωμετρία, τις πιθανότητες και τη συνδυαστική, και προσφέρει μερικές αναπάντεχες συνδέσεις ανάμεσα στον συνεχή και τον διακριτό κόσμο.
Παρόλο που αυτού του είδους τα μαθηματικά προβλήματα μπορεί να φαίνονται δυσνόητα, πολλές τεχνολογίες που εμπλέκονται στην καθημερινή μας ζωή βασίζονται σε περίπλοκα μαθηματικά εργαλεία και αλγορίθμους.
Η λύση της εικασίας του Talagrand ενδέχεται να επηρεάσει την επιστήμη των δεδομένων, τη μηχανική μάθηση και τομείς όπως η βελτιστοποίηση της εφοδιαστικής αλυσίδας (logistics), όπου παρόμοια μοντέλα που περιλαμβάνουν σύνθετη τυχαιότητα είναι κοινά.