Σε ένα πασίγνωστο επεισόδιο των Simpsons, ο Χόμερ ανακαλύπτει ένα αντιπαράδειγμα στο τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Η πλοκή του επεισοδίου “The Wizard of Evergreen Terrace”, φαίνεται να είναι μια τυπική ιστορία των Simpsons. Σε αυτό, ο Χόμερ παλεύει με την κρίση της μέσης ηλικίας.
Απογοητευμένος από την απουσία επιτευγμάτων στη ζωή του, αποφασίζει να μιμηθεί τον διάσημο εφευρέτη Τόμας Έντισον και με τη σειρά του προσπαθεί να αναπτύξει τεχνικές καινοτομίες, οι οποίες φυσικά καταλήγουν όλες σε καταστροφή.
Αν όμως παρακολουθήσετε προσεκτικά το επεισόδιο, το οποίο προβλήθηκε για πρώτη φορά το 1998, σας περιμένει μια έκπληξη — τουλάχιστον αν γνωρίζετε έστω και λίγα πράγματα από μαθηματικά.
Σε μια συγκεκριμένη σκηνή, ο Χόμερ στέκεται σκεπτικός μπροστά σε έναν μαυροπίνακα γεμάτο σημειώσεις. Δίπλα στα σχέδια με ντόνατς —που δεν είναι μόνο το αγαπημένο φαγητό του Χόμερ, αλλά παίζουν και κρίσιμο ρόλο στον τομέα της τοπολογίας— υπάρχει μια φαινομενικά αθώα εξίσωση: 3,98712 + 4,36512 = 4,47212.
Αν την πληκτρολογήσετε σε μια αριθμομηχανή, φαίνεται σωστή. Ωστόσο, παραδόξως, έρχεται σε πλήρη αντίθεση με ένα από τα πιο θεμελιώδη θεωρήματα των μαθηματικών.
Το μεγάλο θεώρημα του Φερμά: Ένα μαθηματικό αίνιγμα αιώνων
Η ιστορία αυτή ξεκινά τον 17ο αιώνα. Ξεκινά με την εξίσωση xⁿ + yⁿ = zⁿ. Αν επιλέξετε n = 1, τότε η εξίσωση αυτή ικανοποιείται πάντα: ανεξάρτητα από το ποιες τιμές θα επιλέξετε για τα x και y, το z θα είναι πάντα ένα θετικό ακέραιο αποτέλεσμα.
Για παράδειγμα, 3 + 6 = 9. Για n = 2, τα πράγματα γίνονται λίγο πιο περίπλοκα, γιατί η εξίσωση γίνεται τετραγωνική: x² + y² = z². Αυτή η διατύπωση φαίνεται γνώριμη, ιδιαίτερα αν σας αρέσει η γεωμετρία — είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Παρόλα αυτά, υπάρχουν ορισμένες ιδιαιτερότητες: αν τα x και y έχουν ακέραιες τιμές, το z δεν είναι απαραίτητα ακέραιος αριθμός. Για παράδειγμα, για x = 1 και y = 2, έχουμε 1² + 2² = 5. Όμως το 5 δεν είναι τέλειος τετραγωνικός αριθμός.
Αν κοιτάξετε ξανά την εξίσωση όταν n = 3, τα πράγματα γίνονται περίεργα. Δεν μπορείτε να βρείτε λύση με ακέραιους αριθμούς για την εξίσωση x³ + y³ = z³. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορείτε να «χωρίσετε» έναν κύβο με ακέραιες πλευρές z σε δύο μικρότερους κύβους με ακέραιες πλευρές x και y.
Το ίδιο ισχύει και για όλες τις άλλες τιμές του n.
Ο Γάλλος λόγιος του 17ου αιώνα Πιερ ντε Φερμά το είχε επίσης αναγνωρίσει αυτό — και ισχυρίστηκε ότι είχε ανακαλύψει μια απόδειξη για τη δήλωση ότι δεν υπάρχουν τρεις θετικοί ακέραιοι αριθμοί x, y και z που να ικανοποιούν την εξίσωση xⁿ + yⁿ = zⁿ όταν n είναι μεγαλύτερο του 2.
Η ιδιαιτερότητα όμως είναι η εξής: έγραψε για αυτό το μαθηματικό «επίτευγμα» σε μια σημείωση στο περιθώριο ενός βιβλίου του αρχαίου επιστήμονα Διόφαντου από την Αλεξάνδρεια, χωρίς όμως να παραθέσει ποτέ την ίδια την απόδειξη.
Ο Φερμά άφηνε συχνά παρόμοιες σημειώσεις. Και όλες —εκτός από αυτήν— αποδείχθηκαν επιτυχώς από μεταγενέστερους ειδικούς. Έτσι, αυτή η μυστηριώδης απόδειξη έμεινε γνωστή ως το τελευταίο θεώρημα του Φερμά.
Γενιές μελετητών προσπάθησαν να το λύσουν, μέχρι που τελικά, μετά από περισσότερα από 350 χρόνια, το 1994, ο μαθηματικός Άντριου Γουάιλς έλυσε το αίνιγμα. Το εντυπωσιακό του έργο προκάλεσε αίσθηση: ανέπτυξε νέες μεθόδους που οδήγησαν σε περαιτέρω πρωτοποριακές ανακαλύψεις στον τομέα.
Πέρα από τη σχολική άλγεβρα: Στα άβατα των ελλειπτικών καμπυλών
Για το επίτευγμά του αυτό, μεταξύ άλλων, τιμήθηκε το 2016 με το Βραβείο Άμπελ, μία από τις υψηλότερες διακρίσεις στα μαθηματικά. Για την απόδειξη του Γουάιλς, πρέπει να αφήσει κανείς την άλγεβρα που γνωρίζει από το σχολείο και να εισέλθει σε πιο πολυδιάσπαστους μαθηματικούς κλάδους.
Στην πραγματικότητα, πρέπει να διεισδύσει στα απόκρυφα πεδία των ελλειπτικών καμπυλών και των modular μορφών — έννοιες που αναπτύχθηκαν μόλις τη δεκαετία του 1980. Κανείς δεν αμφιβάλλει σοβαρά για την ορθότητα της προσέγγισης του Γουάιλς.
Η επιστημονική του εργασία έχει αξιολογηθεί από πλήθος ειδικών, κυρίως επειδή ορισμένες από τις τεχνικές του επανεξετάζονται διαρκώς για να αποκαλύψουν άλλες μαθηματικές σχέσεις. Αυτό μειώνει την πιθανότητα να έχει παρεισφρήσει κάποιο λάθος σε οποιοδήποτε σημείο.
Ωστόσο, ο Φερμά δεν θα μπορούσε να γνωρίζει για τις ελλειπτικές καμπύλες και τις modular μορφές (ελλειπτικές καμπύλες και σπονδυλωτές μορφές).
Αυτό γεννά νέα ερωτήματα: Μήπως ο λόγιος έκανε πλάκα; Μήπως είχε κάνει λάθος υπολογισμούς; Ή μήπως υπάρχει μια ουσιαστικά απλούστερη απόδειξη; Η συζήτηση συνεχίζεται.
Χόμερ Vs Πιερ ντε Φερμά
Ευτυχώς, το μυστήριο του Χόμερ είναι πιο εύκολο να λυθεί. Ναι, το 3.987¹² + 4.365¹² = 4.472¹² αποτελεί μια ακέραια λύση της εξίσωσης xⁿ + yⁿ = zⁿ για n = 12. Όμως το πρόβλημα εδώ βρίσκεται στον συμβατικό υπολογιστή.
Οι αριθμοί 3,987¹² + 4,365¹² αντιστοιχούν σε εξαιρετικά μεγάλες τιμές που αποτελούνται από 44 ψηφία. Οι συνηθισμένοι υπολογιστές τσέπης εμφανίζουν συνήθως μόνο 10 ψηφία, γι’ αυτό και στρογγυλοποιούν τις αριθμητικές τιμές προς τα πάνω ή προς τα κάτω.
Με τη χρήση ενός πιο ακριβούς υπολογιστή ή ενός προγράμματος ηλεκτρονικού υπολογιστή, θα διαπιστώσετε ότι το 3,987¹² + 4,365¹² δεν ισούται πραγματικά με το 4,472¹².
Στην πραγματικότητα, αυτό που αποδεικνύει το επεισόδιο “The Wizard of Evergreen Terrace” είναι ότι πολλοί από τους δημιουργούς των Simpsons διαθέτουν μια εκπληκτικά βαθιά γνώση των μαθηματικών.
Πολλοί από τους σεναριογράφους της σειράς έχουν υπόβαθρο στην πληροφορική, τα μαθηματικά ή τη φυσική, συμπεριλαμβανομένου του David X. Cohen, ο οποίος ήταν υπεύθυνος για το αστείο με τον Φερμά.
Είχε γράψει ένα πρόγραμμα υπολογιστή ειδικά για να “ξεράσει” μια σχεδόν σωστή λύση για αυτόν τον σκοπό. Το γεγονός ότι επέλεξε το μεγάλο θεώρημα του Φερμά ίσως να μην ήταν καθαρή σύμπτωση:
Ως φοιτητής, ο Cohen παρακολουθούσε τις διαλέξεις του μαθηματικού Ken Ribet, ο οποίος είχε κάνει μέρος της προκαταρκτικής εργασίας για την απόδειξη του Γουάιλς. Και αυτό δεν είναι σε καμία περίπτωση το μοναδικό επεισόδιο των Simpsons με ένα εύστοχα κρυμμένο μήνυμα.
Στο βιβλίο του “The Simpsons and Their Mathematical Secrets”, ο μαθηματικός Simon Singh παρουσιάζει πολλά ακόμη παραδείγματα. Αν μη τι άλλο, η σειρά σάς προσκαλεί να κοιτάξετε πιο προσεκτικά κατά τη διάρκεια μιας χαλαρής βραδινής προβολής — και ίσως, στην πορεία, να κάνετε και εσείς μια μαθηματική ανακάλυψη.