Μπορεί μια μικροσκοπική μαθηματική φόρμουλα να γκρεμίσει μια θεωρία 87 ετών; Η απάντηση είναι θετική και πίσω από αυτή βρίσκεται η τεχνητή νοημοσύνη.
Το μοντέλο Claude Fable 5 βοήθησε στην κατάρριψη μιας ιστορικής μαθηματικής εικασίας, ανοίγοντας νέους ορίζοντες στην κατανόηση των πολλαπλών διαστάσεων του χώρου. Ένας μαθηματικός που εργάζεται στην Anthropic δήλωσε ότι χρησιμοποίησε το μοντέλο τεχνητής νοημοσύνης Claude Fable 5 για να ανακαλύψει ένα αξιοσημείωτα απλό αντιπαράδειγμα στην εικασία του Ιακωβιανού (Jacobian conjecture), ένα διάσημο πρόβλημα που αντιστέκεται στους μαθηματικούς για περισσότερο από έναν αιώνα.
Το αποτέλεσμα δείχνει ότι η εικασία είναι ψευδής στις τρεις διαστάσεις και άνω, αν και η αρχική εκδοχή των δύο διαστάσεων παραμένει άλυτη.
Η τεχνητή νοημοσύνη Claude Fable 5 βοήθησε στην ανακάλυψη μιας μικροσκοπικής φόρμουλας, η οποία κατέρριψε μια μαθηματική εικασία ενός αιώνα στις τρεις διαστάσεις και πέρα από αυτές.
Καθώς εκατομμύρια άνθρωποι συνέρχονταν πρόσφατα από τον ενθουσιασμό του τελικού του Παγκοσμίου Κυπέλλου της FIFA, ένας διαφορετικού είδους ενθουσιασμός κορυφωνόταν στους κόλπους της μαθηματικής κοινότητας.
Ο Λεβέντ Αλπόγκε (Levent Alpöge), ένας μαθηματικός που εργάζεται στην εταιρεία τεχνητής νοημοσύνης (AI) Anthropic, έκανε μια πολύ χαλαρή ανακοίνωση στην πλατφόρμα X, γνωστοποιώντας ότι βρήκε ένα αντιπαράδειγμα στην εικασία του Ιακωβιανού, ένα πολύ παλιό και πασίγνωστο πρόβλημα στον τομέα των μαθηματικών που ονομάζεται αλγεβρική γεωμετρία.
Το πέτυχε αυτό χρησιμοποιώντας το μεγάλο γλωσσικό μοντέλο Claude Fable 5 της Anthropic, το οποίο κυκλοφόρησε στο ευρύ κοινό μόλις πριν από λίγες εβδομάδες.
Αυτή είναι απλώς η πιο πρόσφατη από μια σειρά εντυπωσιακών μαθηματικών ανακαλύψεων που πέτυχαν μαθηματικοί σε συνεργασία με μεγάλα γλωσσικά μοντέλα.
Ωστόσο, αυτή η συγκεκριμένη ανακάλυψη δίνει μια ελαφρώς διαφορετική αίσθηση σε σχέση με όσες προηγήθηκαν.
Το χρονικό ενός μαθηματικού γρίφου: Τι είναι η εικασία του Ιακωβιανού
Αρχικά, τι είναι μια εικασία; Είναι μια ιδέα που ορισμένοι μαθηματικοί πιστεύουν ότι είναι αληθής, αλλά κανείς δεν έχει καταφέρει ακόμα να αποδείξει ή να καταρρίψει.
Ας περάσουμε τώρα στην εικασία του Ιακωβιανού. Είναι αρκετά αφηρημένη, αλλά όχι πολύ δύσκολη στην περιγραφή της. Η εικασία περιλαμβάνει συναρτήσεις, οι οποίες μοιάζουν με μικρές μηχανές: εισάγεις έναν ή περισσότερους αριθμούς και εμφανίζονται άλλοι αριθμοί, σύμφωνα με κάποιον κανόνα ή εξίσωση.
Στη συγκεκριμένη περίπτωση, οι συναρτήσεις χρησιμοποιούν αυτά που ονομάζουμε πολυώνυμα. Συγκεκριμένα, πρόκειται για περιπτώσεις όπου οι αριθμοί αντιπροσωπεύουν σημεία σε έναν χώρο, όπως οι συντεταγμένες σε έναν χάρτη.
Έτσι, μπορούμε να φανταστούμε ότι όταν η συνάρτηση δέχεται κάποιους αριθμούς και βγάζει κάποιους άλλους, μετακινεί τα σημεία στον χώρο. Μπορείτε να ελέγξετε πόσο «ομαλά» μετακινεί μια συνάρτηση τα πάντα μέσα στον χώρο, υπολογίζοντας κάτι που ονομάζεται Ιακωβιανή ορίζουσα.
Εάν η Ιακωβιανή ορίζουσα είναι πάντα ένας σταθερός αριθμός διάφορος του μηδενός, τότε η συνάρτηση δεν αναδιπλώνει ούτε συμπιέζει ποτέ τον χώρο γύρω από ένα συγκεκριμένο σημείο.
Η εικασία του Ιακωβιανού αναφέρει ότι όταν η Ιακωβιανή ορίζουσα είναι μια μη μηδενική σταθερά, θα πρέπει πάντα να υπάρχει μια άλλη συνάρτηση, αποτελούμενη επίσης από πολυώνυμα, η οποία να αντιστρέφει την αρχική.
Αυτή η συνάρτηση θα επαναφέρει όλα τα σημεία στις αρχικές τους θέσεις.
Δεν είναι κάθε συνάρτηση αντιστρέψιμη. Για παράδειγμα, εάν η αρχική μας συνάρτηση μετακινήσει δύο από τα αρχικά σημεία πάνω σε ένα μόνο σημείο, τότε δεν μπορούμε να την αντιστρέψουμε.
Από τη στιγμή που τα σημεία έχουν συγχωνευθεί, δεν μπορούμε πλέον να τα ξεχωρίσουμε ώστε να τα στείλουμε πίσω στις σωστές τους θέσεις.
Μαθηματικά «ναυάγια»: Οι δεκαετίες που λύγιζαν τους κορυφαίους του είδους
Η εκδοχή των δύο διαστάσεων της εικασίας του Ιακωβιανού διατυπώθηκε από τον Τσέχο μαθηματικό Λούντβιχ Κράους (Ludwig Kraus) το 1884. Γενικεύτηκε για οποιονδήποτε αριθμό διαστάσεων από τον Γερμανό μαθηματικό Ότ-Χάινριχ Κέλερ (Ott-Heinrich Keller) το 1939.
Θεωρήθηκε τόσο συναρπαστική που ο κάτοχος του μεταλλίου Φιλντς (Fields Medal), Στίβεν Σμέιλ (Stephen Smale), συμπεριέλαβε την εικασία στη λίστα του 1998 με τα Μαθηματικά Προβλήματα για τον Επόμενο Αιώνα.
Κατά τη διάρκεια της μακράς ιστορίας της, η εικασία του Ιακωβιανού υπήρξε το αντικείμενο πολλών υποτιθέμενων αποδείξεων, συμπεριλαμβανομένων εκείνων από τον Μπενιαμίνο Σέγκρε (Beniamino Segre) και τον Βόλφγκανγκ Γκρέμπνερ (Wolfgang Gröbner), δύο διάσημους μαθηματικούς του 20ού αιώνα.
Ωστόσο, σε κάθε περίπτωση, εντοπίστηκαν ανεπαίσθητα σφάλματα που ακύρωναν τα επιχειρήματά τους.
Παρά ταύτα, υπήρξε επίσης ένας αριθμός έγκυρων προσπαθειών που έδειχναν ότι η εικασία αληθεύει υπό διάφορους περιορισμούς.
Τα υπολογιστικά αποτελέσματα έχουν επίσης δείξει ότι η εικασία είναι αληθής στις δύο διαστάσεις για πολυώνυμα βαθμού έως και 100 (δηλαδή, συμπεριλαμβανομένων δυνάμεων των μεταβλητών μέχρι το 100).
Ωστόσο, κανείς δεν είχε αποδείξει τη γενική περίπτωση — ούτε είχε βρει ένα παράδειγμα που να αποδεικνύει ότι η εικασία ήταν λανθασμένη.
Η απλότητα που καθηλώνει: Η λύση που κρυβόταν σε μια απλή φόρμουλα
Ένας από τους βασικούς λόγους για τους οποίους η εικασία του Ιακωβιανού είναι τόσο συναρπαστική είναι ότι, θεωρητικά, θα έπρεπε να είναι εύκολο να βρεθεί ένα αντιπαράδειγμα.
Είναι απλό να σκεφτεί κανείς παραδείγματα συναρτήσεων που συγχωνεύουν σημεία, καθώς και παραδείγματα πολυωνυμικών απεικονίσεων που έχουν σταθερή Ιακωβιανή ορίζουσα.
Ωστόσο, η εύρεση μιας πολυωνυμικής απεικόνισης που να διαθέτει και τις δύο αυτές ιδιότητες αποτελεί την πραγματική πρόκληση. Πράγματι, όπως σημείωσε ένας χρήστης του Math Stack Exchange σε μια ανάρτηση από το 2017, «απ’ όσο γνωρίζουμε, κάποιος έξυπνος προπτυχιακός φοιτητής θα μπορούσε απλώς να γράψει μια φόρμουλα […] η οποία θα αποτελούσε αντιπαράδειγμα σε αυτή την εικασία».
Πράγματι, αυτό ακριβώς συνέβη και με τη συνάρτηση του Αλπόγκε, η οποία είναι αρκετά σύντομη ώστε να χωρέσει σε μια και μόνο ανάρτηση στην πλατφόρμα X.
Ο ίδιος βρήκε ένα παράδειγμα συνάρτησης σε τρεις διαστάσεις, η οποία έχει σταθερή Ιακωβιανή ορίζουσα ίση με -2 και μετακινεί πολλαπλά σημεία εισόδου στο ίδιο σημείο εξόδου, επομένως δεν είναι αντιστρέψιμη.
Αυτό αποδεικνύει ότι η εικασία είναι ψευδής για κάθε διάσταση μεγαλύτερη από 2, ενώ η αρχική εικασία στις δύο διαστάσεις παραμένει ανοιχτή.
Η συντομία του αντιπαραδείγματος κατέστησε εύκολη την επαλήθευσή του από άλλους μαθηματικούς.
AI και Μαθηματικά: Το επόμενο μεγάλο άλμα μιας ψηφιακής επανάστασης
Η ανακάλυψη του Αλπόγκε είναι η πιο πρόσφατη σε μια σειρά από εξαιρετικά προβεβλημένα μαθηματικά επιτεύγματα που επιτεύχθηκαν μέσω μεγάλων γλωσσικών μοντέλων.
Πρόσφατα παραδείγματα περιλαμβάνουν την κατάρριψη της εικασίας της μοναδιαίας απόστασης από την OpenAI, καθώς και την απόδειξη του προβλήματος 1196 του Έρντος από τον Λίαμ Πράις (Liam Price), έναν 23χρονο ερασιτέχνη μαθηματικό.
Και τα δύο παραδείγματα αναδεικνύουν ένα από τα πιο εντυπωσιακά πλεονεκτήματα των μοντέλων τεχνητής νοημοσύνης.
Έχουν τη δυνατότητα να αντλούν ιδέες από διαφορετικούς τομείς των μαθηματικών, συνδυάζοντάς τις με έναν πρωτοποριακό τρόπο για να αποδείξουν εκπληκτικά αποτελέσματα.
Μέχρι τη στιγμή που γράφονται αυτές οι γραμμές, δεν έχουν δημοσιοποιηθεί λεπτομέρειες σχετικά με το πώς ακριβώς ο Αλπόγκε καθοδήγησε (prompted) το μοντέλο τεχνητής νοημοσύνης ώστε να παράγει το αντιπαράδειγμα για την εικασία του Ιακωβιανού, ούτε για το πώς έμοιαζε το αποτέλεσμα που παρήγαγε η AI.
Ωστόσο, μέχρι στιγμής, αυτό το επίτευγμα φαίνεται να είναι διαφορετικής φύσης.
Σε αντίθεση με πολλά άλλα πρόσφατα επιτεύγματα που επιτεύχθηκαν με τη βοήθεια της τεχνητής νοημοσύνης, το ίδιο το αντιπαράδειγμα είναι αξιοσημείωτα απλό.
Η δυσκολία στον εντοπισμό του φαίνεται ότι δεν βρισκόταν σε μια περίπλοκη δομή ή σε μια μακροσκελή απόδειξη, αλλά μάλλον στην εύρεση ενός αποτελεσματικού τρόπου πλοήγησης σε έναν τεράστιο χώρο αναζήτησης πιθανών πολυωνυμικών απεικονίσεων, προκειμένου να εντοπιστεί μία με τις σωστές ιδιότητες.
Αυτό υποδηλώνει ότι η τεχνητή νοημοσύνη μπορεί να αποδειχθεί εξίσου πολύτιμη για την ανακάλυψη απροσδόκητων μαθηματικών αντικειμένων όσο και για τη σύνταξη αποδείξεων.
Το τι σημαίνει αυτό για το μέλλον των μαθηματικών —και των ανθρώπων μαθηματικών— μένει να φανεί.