Μια νέα μαθηματική έρευνα αμφισβητεί παγιωμένες παραδοχές σχετικά με τον τρόπο μοντελοποίησης της τυχαιότητας. Ανά πάσα στιγμή, αμέτρητα μόρια κινούνται απρόβλεπτα στον αέρα γύρω σας. Οι φυσικοί βασίζονται σε μια αρχή που ονομάζεται κατανομή Boltzmann για να βγάλουν άκρη με αυτή τη φαινομενική τυχαιότητα.
Αντί να παρακολουθεί την ακριβή θέση κάθε σωματιδίου, αυτός ο νόμος περιγράφει την πιθανότητα να βρεθεί ένα σύστημα σε μια συγκεκριμένη κατάσταση. Αυτή η προσέγγιση καθιστά εφικτή την κατανόηση μεγάλων συστημάτων, ακόμα και όταν οι μεμονωμένες κινήσεις είναι αδύνατον να προβλεφθούν. Μια χρήσιμη σύγκριση είναι το ρίξιμο ενός ζαριού: ενώ κάθε ρίψη είναι αβέβαιη, οι επαναλαμβανόμενες ρίψεις αποκαλύπτουν ένα σταθερό μοτίβο πιθανοτήτων.
Ένας καθολικός κανόνας για την τυχαιότητα
Διατυπωμένη για πρώτη φορά στα τέλη του 19ου αιώνα από τον Αυστριακό φυσικό και μαθηματικό Ludwig Boltzmann, αυτή η αρχή παραμένει ευρέως διαδεδομένη σε πολλούς κλάδους σήμερα. Πέρα από τη φυσική, εμφανίζεται σε πεδία όπως η τεχνητή νοημοσύνη και τα οικονομικά, όπου είναι γνωστή ως πολυωνυμικό λογιστικό μοντέλο (multinomial logit model).
Σε μια νέα εργασία, οικονομολόγοι επανεξέτασαν αυτή τη θεμελιώδη έννοια και κατέληξαν σε ένα αναπάντεχο συμπέρασμα. Η ανάλυσή τους δείχνει ότι η κατανομή Boltzmann είναι η μοναδική που είναι κατάλληλη για την περιγραφή ανεξάρτητων συστημάτων, δηλαδή συστημάτων στα οποία τα διάφορα μέρη τους δεν επηρεάζουν το ένα το άλλο.
Η μελέτη, η οποία δημοσιεύθηκε στο περιοδικό Mathematische Annalen, διεξήχθη από τον Omer Tamuz, καθηγητή οικονομικών και μαθηματικών στο Caltech, και τον Fedor Sandomirskiy, πρώην μεταδιδακτορικό ερευνητή στο Caltech και νυν επίκουρο καθηγητή οικονομικών στο Πανεπιστήμιο Πρίνστον.
Και οι δύο ερευνητές φέρουν στο έργο τους κατάρτιση στον τομέα της φυσικής. «Αυτό είναι ένα παράδειγμα του πώς η αφηρημένη μαθηματική σκέψη μπορεί να γεφυρώσει διαφορετικά πεδία—στην προκειμένη περίπτωση, συνδέοντας ιδέες από την οικονομική θεωρία με τη φυσική», λέει ο Tamuz. «το διεπιστημονικό περιβάλλον του Caltech ευνοεί τέτοιου είδους ανακαλύψεις».
Γιατί η ανεξαρτησία έχει σημασία στα μοντέλα
Ένα κεντρικό ζήτημα που διερευνήθηκε στην μελέτη, είναι ο τρόπος μοντελοποίησης της ανεξάρτητης συμπεριφοράς. Για παράδειγμα, ένας οικονομολόγος που μελετά πώς οι άνθρωποι επιλέγουν ανάμεσα σε δύο μάρκες δημητριακών, θα ήθελε να αποφύγει μοντέλα που παράγουν μη ρεαλιστικές συνδέσεις.
Αν το μοντέλο υποστήριζε ότι οι προτιμήσεις στα δημητριακά εξαρτώνται από άσχετες επιλογές, όπως το ποιο υγρό πιάτων αγοράζει κάποιος ή τι χρώμα πουκάμισο φοράει, θα ήταν σαφώς ελαττωματικό.
«Θα προτιμούσαμε να μην παρακολουθούμε επιπλέον επιλογές που φαίνονται άσχετες, όπως το ποιο σαπούνι διάλεξε ο αγοραστής σε έναν άλλο διάδρομο», λέει ο Tamuz. «Θέτουμε το ερώτημα: Πότε η συμπερίληψη αυτής της φαινομενικά άσχετης επιλογής θα άφηνε αμετάβλητη την πρόβλεψη του μοντέλου;»
Ενώ η κατανομή Boltzmann ικανοποιεί ήδη αυτή την απαίτηση, ο Tamuz και ο Sandomirskiy ήθελαν να μάθουν αν υπάρχουν άλλες θεωρίες που θα μπορούσαν να κάνουν το ίδιο.
«Όλοι χρησιμοποιούν την ίδια θεωρία», δήλωσε ο Tamuz. «Αλλά ποιες άλλες θεωρίες έχουν αυτή την ωραία ιδιότητα που διατηρεί σωστά την έλλειψη σύνδεσης μεταξύ των άσχετων συμπεριφορών; Θα έπρεπε να χρησιμοποιούμε εκείνες τις θεωρίες αντί γι’ αυτήν;
Αν υπάρχουν τέτοιες θεωρίες, θα μπορούσαν να είναι χρήσιμες τόσο στα οικονομικά όσο και στη φυσική. Αν δεν υπάρχουν, τότε θα μαθαίναμε ότι η κατανομή Boltzmann είναι η μόνη θεωρία της φυσικής που δεν είναι παράλογη και ότι το πολυωνυμικό λογιστικό μοντέλο είναι το μοναδικό οικονομικό μοντέλο που προβλέπει ανεξάρτητες επιλογές σε άσχετες καταστάσεις».
Τα ζάρια αποκαλύπτουν τα μαθηματικά της ανεξαρτησίας
Για να διερευνήσουν αν άλλα μαθηματικά πλαίσια θα μπορούσαν να περιγράψουν ανεξάρτητα συστήματα, οι οικονομολόγοι σχεδίασαν νέους τρόπους ελέγχου της υποκείμενης λογικής. Ο Tamuz συχνά εξηγεί την προσέγγισή τους χρησιμοποιώντας ζάρια.
Ένα μεμονωμένο ζάρι παράγει απρόβλεπτα αποτελέσματα, με τις τιμές να κυμαίνονται από το 1 έως το 6. Ενώ κάθε μεμονωμένη ρίψη είναι αβέβαιη, η επανάληψη του πειράματος πολλές φορές αποκαλύπτει ένα σταθερό μοτίβο, με κάθε αριθμό να εμφανίζεται περίπου στο ένα έκτο των περιπτώσεων.
Αυτό το μοτίβο αντιπροσωπεύει την κατανομή πιθανότητας ενός μεμονωμένου ζαριού.
Όταν δύο ζάρια ρίχνονται μαζί και καταγράφονται τα αθροίσματά τους, εμφανίζεται μια διαφορετική κατανομή. Ορισμένα αποτελέσματα είναι πιο σπάνια από άλλα.
Για παράδειγμα, το άθροισμα 2 προκύπτει μόνο όταν και τα δύο ζάρια φέρουν 1, δίνοντας μια πιθανότητα 1 στις 36. Αντίθετα, το άθροισμα 8 μπορεί να σχηματιστεί με πέντε διαφορετικούς τρόπους, με αποτέλεσμα μια πιθανότητα 5 στις 36.
Το κρίσιμο σημείο είναι ότι το αποτέλεσμα του ενός ζαριού δεν επηρεάζει το άλλο.
Πρόκειται για ανεξάρτητα συστήματα. Στο προηγούμενο παράδειγμα, το ένα ζάρι αντιπροσωπεύει την επιλογή δημητριακών και το άλλο την επιλογή υγρού πιάτων, και καμία από τις δύο αποφάσεις δεν θα έπρεπε να επηρεάζει την άλλη.
Για να προχωρήσουν αυτή την ιδέα ακόμη περισσότερο, οι ερευνητές παρουσίασαν ένα ασυνήθιστο ζευγάρι ζαριών, γνωστά ως ζάρια Sicherman, που δημιουργήθηκαν το 1977 από τον σχεδιαστή γρίφων συνταγματάρχη George Sicherman.
Ο Tamuz, ο οποίος κρατά ένα σετ από αυτά τα ζάρια στο γραφείο του, επισημαίνει ότι οι έδρες τους περιέχουν αντισυμβατικούς αριθμούς. Το ένα ζάρι φέρει τους αριθμούς 1, 3, 4, 5, 6, 8, ενώ το άλλο δείχνει 1, 2, 2, 3, 3 και 4. Παρά τον ασυνήθιστο σχεδιασμό τους, όταν και τα δύο ζάρια ρίχνονται και καταγράφεται μόνο το άθροισμα, τα αποτελέσματα ταυτίζονται με εκείνα που παράγουν τα κανονικά ζάρια.
Για παράδειγμα, η πιθανότητα να φέρει κανείς 2 παραμένει 1 στις 36, και η πιθανότητα για το 8 παραμένει 5 στις 36. Με άλλα λόγια, η κατανομή των αθροισμάτων είναι πανομοιότυπη.
Αυτή η ιδιότητα έδωσε στους Tamuz και Sandomirskiy ένα ισχυρό εργαλείο ελέγχου. Συνέκριναν πώς διαφορετικές μαθηματικές θεωρίες διαχειρίζονταν τόσο τα κανονικά ζάρια όσο και αυτά τα αντισυμβατικά ζάρια.
Αν μια θεωρία παρήγαγε την ίδια κατανομή αθροισμάτων και για τα δύο, τότε διατηρούσε με επιτυχία την ανεξαρτησία. Αν παρήγαγε διαφορετικά αποτελέσματα, αυτό σήμαινε μια λανθασμένη σύνδεση μεταξύ άσχετων συστημάτων και, ως εκ τούτου, η θεωρία αποτύγχανε.
Πολυωνυμική απόδειξη δίνει τη λύση στο ζήτημα
Για να διευρύνουν την αναζήτησή τους για έγκυρες εναλλακτικές λύσεις, οι οικονομολόγοι έψαξαν για περισσότερα παραδείγματα αντισυμβατικών ζαριών πέρα από το αρχικό ζεύγος Sicherman. Κάθε νέο παράδειγμα παρείχε έναν επιπλέον τρόπο αξιολόγησης των ανταγωνιστικών θεωριών.
Επειδή υπάρχουν άπειρα πιθανά μαθηματικά μοντέλα, κατασκεύασαν ένα αντίστοιχο σύνολο από άπειρα θεωρητικά ζεύγη ζαριών. Ελέγχοντας συστηματικά αυτές τις περιπτώσεις, κατέληξαν τελικά σε μια απόδειξη που απέκλεισε κάθε εναλλακτική λύση.
Το αποτέλεσμά τους δείχνει ότι η καθιερωμένη κατανομή Boltzmann, στην οποία βασίζεται η επιστήμη για περισσότερο από έναν αιώνα, είναι το μόνο πλαίσιο που λειτουργεί με συνέπεια.
Από μαθηματική σκοπιά, ολόκληρο το πρόβλημα μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας πολυώνυμα, συναρτήσεις όπως η f(x)=x+3×2+x3f(x) = x + 3x^2 + x^3f(x)=x+3×2+x3, που συχνά εισάγονται στην άλγεβρα.
Κάθε κατανομή πιθανοτήτων που συζητείται, είτε βασίζεται στη διατύπωση του Boltzmann είτε σε κάποια ανταγωνιστική θεωρία, μπορεί να γραφεί με αυτή τη μορφή.
Για παράδειγμα, το πρώτο ζάρι Sicherman, με πλευρές 1, 3, 4, 5, 6, 8, αντιστοιχεί στη συνάρτηση 𝑓(𝑥)=𝑥1+𝑥3+𝑥4+𝑥5+𝑥6+𝑥8f(x)=x1+x3+x4+x5+x6+x8. Το δεύτερο ζάρι, με πλευρές 1, 2, 2, 3, 3, 4, αντιστοιχεί στη συνάρτηση 𝑔(𝑥)=𝑥1+2𝑥2+2𝑥3+𝑥4g(x)=x1 +2×2+2×3+x4. Ο πολλαπλασιασμός αυτών των εκφράσεων, 𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥) f(x)⋅g(x), παράγει ένα άλλο πολυώνυμο που αναπαριστά την κατανομή των αθροισμάτων των αποτελεσμάτων τους.
Αυτό το αποτέλεσμα συμφωνεί με την κατανομή που προκύπτει από δύο κανονικά ζάρια, καθένα από τα οποία περιγράφεται από τη συνάρτηση (h(x) = x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6), πράγμα που σημαίνει ότι (h(x) ⋅ h(x) δίνει την ίδια συνδυασμένη κατανομή με το (f (x)⋅g(x).
Αυτή η σχέση αποδίδει την ιδέα ότι τα συστήματα είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους. Η επίτευξη του τελικού συμπεράσματος απαίτησε νέες μαθηματικές γνώσεις σχετικά με τη συμπεριφορά αυτών των πολυωνυμικών αναπαραστάσεων.
«Δεν γνωρίζαμε τι να περιμένουμε όταν ξεκινήσαμε», λέει ο Sandomirskiy. «Μας κίνησαν το ενδιαφέρον αυτές οι παράδοξες προβλέψεις και αναρωτηθήκαμε τι σημαίνει για μια θεωρία να μην έχει καμία από αυτές. Τελικά, μάθαμε ότι αυτό σημαίνει πως πρέπει να είναι η θεωρία του Boltzmann. Βρήκαμε μια νέα οπτική σε μια έννοια που αποτελεί βασικό στοιχείο των εγχειριδίων εδώ και πάνω από έναν αιώνα».
