Εξερευνώντας τη θετική γεωμετρία, οι μαθηματικοί φέρνουν στο φως κρυμμένα σχήματα, τα οποία μπορούν να ενοποιήσουν τη φυσική και την κοσμολογία, προσφέροντας νέους τρόπους κατανόησης τόσο των συγκρούσεων σε επιταχυντές, όσο και την προέλευση του σύμπαντος.
Πώς μπορεί η συμπεριφορά των θεμελιωδών σωματιδίων και η δομή ολόκληρου του σύμπαντος να περιγραφεί με τη χρήση των ίδιων μαθηματικών εννοιών; Αυτό είναι το κεντρικό ερώτημα των μαθηματικών Claudia Fevola του κέντρου Inria Saclay και της Anna-Laura Sattelberger από το ινστιτούτο για τα μαθηματικά στις επιστήμες Max Planck, σε μελέτη τους, η οποία δημοσιεύτηκε πρόσφατα στο Notices of the American Mathematical Society.
Γεφυρώνοντας τα μαθηματικά με τη φυσική
Τα μαθηματικά και η φυσική, συνδέονται με μια στενή και ανταποδοτική σχέση. Τα μαθηματικά, προσφέρουν τη γλώσσα και τα εργαλεία της περιγραφής των φυσικών φαινομένων, ενώ η φυσική οδηγεί την ανάπτυξη νέων μαθηματικών εννοιών.
Η αλληλεπίδραση αυτή, παραμένει ζωτικής σημασίας σε περιοχές όπως η κβαντική θεωρία και η κοσμολογία, όπου προηγμένες μαθηματικές δομές και η φυσική θεωρία, εξελίσσονται μαζί.
Στο άρθρο τους, οι συγγραφείς εξερευνούν αλγεβρικές δομές και γεωμετρικά σχήματα, βοηθώντας μας να κατανοήσουμε φαινόμενα που κυμαίνονται από τις συγκρούσεις των μορίων, όπως εκείνες που συμβαίνουν για παράδειγμα, σε μοριακούς επιταχυντές μέχρι την ευρείας έκτασης αρχιτεκτονική του σύμπαντος.
Πέρα από τα διαγράμματα Feynman
Η έρευνά τους, εστιάζει στην αλγεβρική γεωμετρία. Οι πρόσφατες προσπάθειές τους συνδέονται με έναν τομέα που ονομάζεται θετική γεωμετρία – έναν διατμηματικό και καινοτόμο τομέα στα μαθηματικά που καθοδηγείται από νέες ιδέες στην σωματιδιακή φυσική και την κοσμολογία.
Ο τομέας αυτός άντλησε έμπνευση από τη γεωμετρική έννοια της θετικής γεωμετρίας, η οποία επεκτείνει την παραδοσιακή προσέγγιση των διαγραμμάτων Feynman στη σωματιδιακή φυσική, αντιπροσωπεύοντας τις αλληλεπιδράσεις ως όγκους υψηλής διάστασης γεωμετρικών αντικειμένων, όπως το amplituhedron, το οποίο εισήχθη από τους θεωρητικούς φυσικούς Nima Arkani-Hamed και Jaroslav Trnka το 2013.
Αυτό φέρει μια πλούσια, συνδυαστική δομή και προσφέρει έναν εναλλακτικό, ενδεχομένως απλούστερο τρόπο υπολογισμού του εύρους διάχυσης, από τις οποίες μπορούν να εξαχθούν οι πιθανότητες των φαινομένων διάχυσης.
Η προσέγγιση αυτή, έχει μακροπρόθεσμες επιπτώσεις που υπερβαίνουν τη σωματιδιακή φυσική. Στην κοσμολογία, οι επιστήμονες χρησιμοποιούν το αχνό φως του κοσμικού υποβάθρου μικροκυμάτων και τη διανομή των γαλαξιών για να συμπεράνουν τι διαμόρφωσε το πρώιμο σύμπαν.
Τώρα εφαρμόζονται παρόμοια μαθηματικά εργαλεία. Για παράδειγμα, κοσμολογικά πολύτοπα, τα οποία είναι από μόνα τους θετική γεωμετρία και αναπαριστούν τους συσχετισμούς στο πρώτο φως του σύμπαντος, ενώ μπορούν να βοηθήσουν στην ανασύνθεση των νόμων της φυσικής που διέπουν τη γέννηση του σύμπαντος.
Μια γεωμετρία για το σύμπαν
Ακόμη, το άρθρο επισημαίνει ότι, η θετική γεωμετρία δεν απευθύνεται σε ένα περιορισμένο και εξειδικευμένο μαθηματικό κοινό, αλλά είναι εν δυνάμει μια ενοποιητική γλώσσα για μορφές από τομείς της θεωρητικής φυσικής.
Τα γεωμετρικά αυτά πλαίσια, κωδικοποιούν φυσικά την μεταφορά πληροφοριών ανάμεσα σε συστήματα φυσικής, για παράδειγμα, χαρτογραφώντας σταθερές, βασισμένες σε αισθήσεις έννοιες σε αφηρημένες δομές, μια διεργασία που αντανακλά τον τρόπο που οι άνθρωποι κατανοούν μεταφορικά τον κόσμο.
Τα μαθηματικά πίσω από αυτό, είναι περίπλοκα και εκτείνονται σε πολλούς τομείς.
Οι συγγραφείς εστιάζουν στην αλγεβρική γεωμετρία, η οποία οριοθετεί σχήματα και διαστήματα μέσα από λύσεις σε συστήματα πολυώνυμων εξισώσεων, αλγεβρικών αναλύσεων, η οποία μελετά διαφορικές εξισώσεις μέσω μαθηματικών αντικειμένων που ονομάζονται D-μονάδες, και συνδυαστική, η οποία περιγράφει τις διατάξεις και τις αλληλεπιδράσεις μέσα σε αυτές τις δομές.
Τα επίσημα αντικείμενα υπό εξέταση, όπως τα ολοκληρώματα Feynman, τα γενικευμένα ολοκληρώματα Euler ή οι κανονικές μορφές των θετικών γεωμετριών, δεν είναι απλώς μαθηματικές αφαιρέσεις.
Αντιστοιχούν σε παρατηρούμενα φαινόμενα σε φυσική υψηλής ενέργειας και κοσμολογίας, δίνοντας τη δυνατότητα ακριβών υπολογισμών της συμπεριφοράς των μορίων καθώς και των συμπαντικών δομών.
Η μελέτη παρουσιάζει μια προσέγγιση με ευρεία εφαρμογή και επεκτασιμότητα. Οι διαδικασίες διάχυσης συχνά απεικονίζονται με τη χρήση διαγραμμάτων Feynman. Η προσέγγιση του Feynman στη μελέτη των ευρών διάχυσης συνοψίζεται στη μελέτη των περίπλοκων ολοκληρωμάτων που σχετίζονται με τέτοια διαγράμματα. Η αλγεβρική γεωμετρία παρέχει μια σειρά εργαλείων για τη συστηματική διερεύνηση αυτών των ολοκληρωμάτων.
Το πολυώνυμο γραφήματος ενός διαγράμματος Feynman ορίζεται με όρους των δέντρων κάλυψης (spanning trees) και των δασών (forests) του υποκείμενου γραφήματος. Το συνδεδεμένο ολοκλήρωμα Feynman μπορεί να εκφραστεί ως μια μετασχηματισμένη Mellin μιας δύναμης αυτού του πολυωνύμου γραφήματος, που ερμηνεύεται ως συνάρτηση των συντελεστών του. Ωστόσο, αυτοί οι συντελεστές περιορίζονται από τις υποκείμενες φυσικές συνθήκες.
Τα ολοκληρώματα Feynman συνδέονται επομένως στενά με τα γενικευμένα ολοκληρώματα Euler, ειδικά μέσω περιορισμών στους σχετικούς γεωμετρικούς υποχώρους.
Ένας τρόπος για να μελετήσουμε αυτές τις ολονομικές συναρτήσεις, είναι μέσω των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων που ικανοποιούν, οι οποίες είναι οι αντίστροφες εικόνες D-μονάδων των υπεργεωμετρικών D-μονάδων.
Η κατασκευή αυτών των διαφορικών εξισώσεων, ωστόσο, παραμένει πρόκληση.
Στη θεωρητική κοσμολογία, οι συναρτήσεις συσχέτισης σε μοντέλα προσομοίωσης παίρνουν επίσης τη μορφή τέτοιων ολοκληρωμάτων, με τα ολοκληρωτέα να προκύπτουν από διατάξεις υπερεπιπέδων.
Ο συμπληρωματικός χώρος της αλγεβρικής ποικιλότητας που ορίζεται από το πολυώνυμο του γραφήματος σε έναν αλγεβρικό τόρο, είναι μια πολύ ομοπαράλληλη (αφινική) ποικιλία, και το ολοκλήρωμα Feynman μπορεί να θεωρηθεί ως το ζεύγος ενός στρεβλωμένου κύκλου και συν – κύκλου αυτής της ποικιλίας.
Οι γεωμετρικές και (συν) ομολογικές ιδιότητες, αντανακλούν φυσικές έννοιες, όπως είναι ο αριθμός των κύριων ολοκληρωμάτων.
Αυτά τα κύρια ολοκληρώματα, διαμορφώνουν τη βάση για το διάστημα των ολοκληρωμάτων, όταν διαφοροποιούνται οι κινηματικοί παράμετροι και, το μέγεθος αυτής της βάσης είναι, γενικά τουλάχιστον, ίσο με την υπογεγραμμένη τοπολογική χαρακτηριστική Euler της ποικιλότητας.
Ένας κλάδος σε κίνηση
Η εργασία των Fevola και Sattelberger, αντανακλά την αυξανόμενη διεθνή προσπάθεια, η οποία υποστηρίζεται από τη συνεργεία ERC επιχορηγούμενη από το UNIVERSE+ των Nima Arkani-Hamed, Daniel Baumann, και Johannes Henn, Bernd Sturmfels.
Συγκλίνει τα μαθηματικά, την μοριακή φυσική και την κοσμολογία, εστιάζοντας ακριβώς τις συνδέσεις ανάμεσα στην άλγεβρα, τη γεωμετρία και τη θεωρητική φυσική.
“Η θετική γεωμετρία, είναι ένας νέος κλάδος, ο οποίος έχει τη δυνατότητα να επηρεάσει σημαντικά τη θεμελιώδη έρευνα, τόσο στη φυσική όσο και στα μαθηματικά”, τονίζουν οι συγγραφείς.
Πλέον, εξαρτάται από την επιστημονική κοινότητα αν θα καταφέρει να αξιοποιήσει τις λεπτομέρειες των αναδυόμενων μαθηματικών αντικειμένων και θεωριών, και της επικύρωσής τους.
Θετικό είναι πως, αρκετές επιτυχημένες συνεργασίες, έχουν ήδη δημιουργήσει ένα σημαντικό υπόβαθρο. Οι πρόσφατες εξελίξεις, δεν προάγουν μόνο την κατανόηση του φυσικού κόσμου, αλλά επεκτείνουν και τα όρια των ίδιων των μαθηματικών.
Η θετική γεωμετρία, δεν είναι απλώς ένα εργαλείο – αποτελεί μια γλώσσα. Μία γλώσσα που θα μπορούσε να ενοποιήσει την κατανόηση της φύσης, σε όλη της την έκταση.
