Οι φυσικοί χρησιμοποιούν πλέον αρχές της κβαντομηχανικής για να δημιουργήσουν ένα νέο μοντέλο της αφηρημένης έννοιας του π. Ή, ακριβέστερα, ανέπτυξαν ένα νέο μοντέλο το οποίο περιλαμβάνει μια εξαιρετική νέα αναπαράσταση του π. Αλλά τι σημαίνει αυτό και γιατί χρειαζόμαστε διαφορετικές αναπαραστάσεις του π;
Επειδή η κβαντομηχανική μελετά τα πιο μικροσκοπικά σωματίδια, ένα προς ένα, ακόμη και οι πιο απλές ερωτήσεις μπορεί να έχουν περίπλοκες απαντήσεις που απαιτούν τεράστια υπολογιστική ισχύ.
Η δημιουργία προηγμένων βιντεοπαιχνιδιών και ταινιών όπως το Avatar μπορεί να χρειαστεί ημέρες ή και περισσότερο, και παρ’ όλα αυτά δεν πλησιάζει στο επίπεδο της πραγματικότητας. Σε νέα μελέτη, που δημοσιεύτηκε στο επιστημονικό περιοδικό Physical Review Letters, οι φυσικοί Arnab Priya Saha και Aninda Sinha περιγράφουν τη νέα εκδοχή ενός κβαντικού μοντέλου που μειώνει την πολυπλοκότητα, αλλά διατηρεί την ακρίβεια.
Το νέο κβαντικό μοντέλο για το «π»
Αυτό ονομάζεται βελτιστοποίηση. Σκεφτείτε τον τρόπο που τα πρώιμα διαδικτυακά βίντεο φόρτωναν τμηματικά σε κομμάτια με παρόμοια χρώματα, ή πώς οι κλασικοί κινούμενοι σχεδιαστές ζωγράφιζαν τα στατικά σώματα και πρόσθεταν ξεχωριστά τα κινούμενα μέρη από πάνω. Ακόμη, σκεφτείτε πώς οι άνθρωποι κόβουν γωνίες από τετράγωνα μονοπάτια περπατώντας μέχρι να σχηματίσουν ένα συντομότερο χωματόδρομο. Είμαστε περιτριγυρισμένοι από βελτιστοποίηση και βελτιωτικές συμπεριφορές.
Όπως αναφέρουν στην μελέτη τους, οι Saha and Sinha, συνδύασαν δύο υπάρχουσες έννοιες από τα μαθηματικά και την επιστήμη: το διάγραμμα Feynman της σκέδασης σωματιδίων και τη συνάρτηση βήτα του Euler για τη σκέδαση στη θεωρία χορδών. Το αποτέλεσμα είναι μια σειρά, κάτι που στα μαθηματικά αναπαρίσταται με το ελληνικό γράμμα Σ περιβαλλόμενο από παραμέτρους.
Οι σειρές μπορούν τελικά να γενικευτούν σε συνολικές εξισώσεις ή εκφράσεις, αλλά δεν είναι απαραίτητο. Και ενώ κάποιες σειρές αποκλίνουν, δηλαδή οι όροι συνεχίζουν να απομακρύνονται ο ένας από τον άλλον, άλλες συγκλίνουν σε ένα συγκεκριμένο, απτό αποτέλεσμα. Εκεί ακριβώς εμφανίζεται το «π». Τα ψηφία του «π» εκτείνονται στο άπειρο, και το «π» είναι από μόνο του άρρητος αριθμός, που σημαίνει ότι δεν μπορεί να εκφραστεί ακριβώς ως ο λόγος δύο ακεραίων (όπως 22/7 ή άλλα κλάσματα που χρησιμοποιούνται συνήθως για την προσέγγιση του π). Βέβαια, το γνωστό μας 22/7 που διδασκόμαστε στο σχολείο δεν είναι ιδιαίτερα ακριβές με βάση τα σημερινά δεδομένα του 2024.
Όμως μπορεί να αναπαρασταθεί αρκετά γρήγορα και με ακρίβεια μέσω μιας σειράς. Αυτό συμβαίνει επειδή μια σειρά μπορεί να συνεχίσει να παράγει τιμές μέχρι και στα πιο απειροελάχιστα ψηφία. Αν ένας μαθηματικός συγκεντρώσει τους όρους μιας σειράς, τότε μπορεί να αξιοποιήσει το αφηρημένο αυτό αποτέλεσμα που προκύπτει για να κάνει μαθηματικούς υπολογισμούς που δεν θα ήταν εφικτοί με μια απλή προσέγγιση του «π» περιορισμένη στα 10 δεκαδικά ψηφία μιας κοινής αριθμομηχανής. Μια εξελιγμένη προσέγγιση επιτρέπει το είδος της νανοσκοπικής μελέτης σωματιδίων που ενέπνευσε εξαρχής αυτούς τους επιστήμονες.
Αυτή η πρωτοποριακή μέθοδος βελτιστοποιεί τους πολύπλοκους υπολογισμούς όπως ποτέ άλλοτε
«Στις αρχές της δεκαετίας του 1970» ανέφερε ο Sinha σε μια δήλωση του Ινδικού Ινστιτούτου Επιστημών, «οι επιστήμονες εξέτασαν για λίγο αυτή την γραμμή έρευνας, αλλά την εγκατέλειψαν γρήγορα καθώς ήταν πολύ περίπλοκη».
Από το 1970 ωστόσο, η μαθηματική ανάλυση έχει προχωρήσει πολύ. Σήμερα, οι Sinha και Saha, μπόρεσαν να αναλύσουν ένα υπάρχον μοντέλο και να το αναδιαμορφώσουν με διαφοροποιημένους όρους. Μπορούν να κατασκευάσουν μια ακολουθία και να δουν ότι συγκλίνει στην τιμή του «π» με πολύ λιγότερους όρους από ό,τι αναμενόταν, διευκολύνοντας τους επιστήμονες να τρέξουν τη σειρά και να τη χρησιμοποιήσουν για περαιτέρω εργασία.
Όλα αυτά απαιτούν δεκαετίες θεμελιώδους δουλειάς στον χώρο και μεγάλους όγκους έρευνας που δείχνουν ότι ορισμένοι μαθηματικοί χειρισμοί αποδίδουν εκεί όπου άλλοι όχι. Είναι ένα σχόλιο για τη συνεχή και συνεργατική φύση της μαθηματικής θεωρίας, ακόμη κι όταν το αποτέλεσμα είναι ένα λειτουργικό μοντέλο που μπορεί να βοηθήσει τους επιστήμονες. Η ικανότητά μας να προσεγγίζουμε με νόημα έχει εξελιχθεί παράλληλα με την ικανότητά μας να λύνουμε απευθείας σύνθετα προβλήματα.
«Το να κάνεις αυτού του είδους τη δουλειά, ακόμη κι αν δεν έχει άμεση εφαρμογή στην καθημερινή ζωή, προσφέρει την καθαρή απόλαυση της θεωρίας για χάρη της ίδιας της θεωρίας,» είπε ο Sinha στη δήλωσή του.